作者：卢昌海

       2000 年 5 月 24 日，美国克雷数学研究所 (Clay Mathematics Institute) 在法国巴黎召开了一次数学会议。在会议上，与会者们列出了七个数学难题，并作出了一个颇具轰动性的决定：为每个难题设立 100 万美元的巨额奖金。距此次会议 100 年前的 1900 年，也是在巴黎，也是在一次数学会议上，一位名叫希尔伯特 (David Hilbert) 的德国数学大师也列出了一系列数学难题。那些难题一分钱的奖金都没有，但对后世的数学发展产生了深远影响。这两次远隔一个世纪遥相呼应的数学会议除了都在巴黎召开外，还有一个共同之处，那就是在所列出的难题之中，有一个——并且只有一个——是共同的。

       那个难题就是 “黎曼猜想” (Riemann hypothesis)。

       黎曼猜想顾名思义，是由一位名叫黎曼 (Bernhard Riemann) 的数学家提出的，那位数学家于 1826 年出生在如今属于德国，当时属于汉诺威王国 (Kingdom of Hanover) 的一座名叫布列斯伦茨 (Breselenz) 的小镇。1859 年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为《论小于给定数值的素数个数》的论文。那篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的 “诞生地”。

       黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题， 那就是素数的分布。素数是像 2、5、19、137 那样除了 1 和自身以外不能被其它正整数整除的数。这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于 1 的正整数都可以表示成它们的乘积。从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于构筑万物的原子在物理世界中的地位。素数的定义简单得可以在中学、甚至小学课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，数学家们付出了极大的心力，却迄今未能彻底了解。黎曼那篇论文的一个重大成果，就是发现素数分布的奥秘完全蕴藏了在一个特殊的函数之中——尤其是，使那个函数取值为零的一系列特殊的点对素数分布的细致规律有着决定性的影响。那个函数如今被称为黎曼 ζ 函数，那一系列特殊的点则被称为黎曼 ζ 函数的非平凡零点 (下文中有时将简称其为零点)。

       有意思的是，黎曼那篇论文的成果虽然重大，文字却极为简练，甚至简练得有些过分，因为它包括了很多 “证明从略” 的地方。而要命的是，“证明从略” 原本是该用来省略那些显而易见的证明的，黎曼的论文却并非如此，他那些 “证明从略” 的地方有些花费了后世数学家们几十年的努力才得以补全，有些甚至直到今天仍是空白。

       黎曼为什么要把那么多并非显而易见的证明从略呢？我们无法确知，也许是因为它们对于他来说确实是显而易见的，也许是因为不想花太多时间来撰写文章。但有一点基本可以确定，那就是他的 “证明从略” 绝不是类似于调皮学生蒙混考试的做法，而且很可能也并不是把错误证明当成正确的盲目乐观——后者在数学史上不乏先例， 比如法国数学家费马 (Pierre de Fermat) 在写下费马猜想时所表示的 “我发现了一个真正出色的证明，可惜页边太窄写不下来” 就基本已被数学界认定是把错误证明当成正确的盲目乐观。因为人们后来从黎曼的手稿中发现他对许多论文中从略了的证明是做过扎实研究的，而且那些研究的水平之高，甚至在隔了几十年之后被整理出来时，有时也仍具有极大的领先性。

       但黎曼的论文在为数不少的 “证明从略” 之外， 却引人注目地包含了一个他明确承认自己无法证明的命题，那个命题就是黎曼猜想。

       那么，黎曼猜想究竟是一个什么猜想呢？简单地说，是一个关于我们前面提到的，对素数分布的细致规律有着决定性影响的黎曼 ζ 函数的非平凡零点的猜想。关于那些非平凡零点，容易证明的结果只有一个，那就是它们都分布在一个带状区域上，但黎曼认为它们的分布要比这个容易证明的结果齐整得多，他猜测它们全都位于该带状区域正中央的一条直线上，这就是所谓的黎曼猜想。而这条被猜测为包含黎曼 ζ 函数所有非平凡零点的直线则被称为临界线。

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